«Пойдем от противного», — решили математики, и отошли от противного.
«Пойдем от противного», — решили математики, и отошли от противного. Этот изящный логический прием, известный как доказательство от противного или редукция к абсурду, является одним из фундаментальных инструментов в арсенале любого математика. Вместо того чтобы напрямую доказывать истинность утверждения, математик предполагает, что оно ложно, и затем, используя строгие логические выводы, приходит к противоречию. Это противоречие, абсурдное следствие изначально сделанного предположения, неопровержимо доказывает, что исходное утверждение должно быть истинным.
Этот метод часто применяется в ситуациях, когда прямое доказательство кажется слишком сложным или запутанным. Например, классическим примером является доказательство иррациональности числа √2. Если бы √2 было рациональным, его можно было бы представить в виде несократимой дроби p/q. Возведя обе части в квадрат, мы получаем 2 = p²/q², или 2q² = p². Отсюда следует, что p² должно быть четным, а значит, и само p должно быть четным. Если p четное, то его можно представить как 2k, где k – некоторое целое число. Подставляя это в уравнение, получаем 2q² = (2k)² = 4k², что после сокращения на 2 дает q² = 2k². Это означает, что q² также четное, а значит, и q должно быть четным. Но если и p, и q четные, то дробь p/q не является несократимой, что противоречит нашему первоначальному предположению. Следовательно, √2 не может быть рациональным числом.
Другой пример – доказательство бесконечности простых чисел. Если бы простых чисел было конечное число, мы могли бы перечислить их все: p₁, p₂, …, p. Тогда мы могли бы создать новое число N = (p₁ * p₂ * … * p) + 1. Это число N либо само является простым, либо делится на какое-то простое число. Если N простое, то оно больше всех перечисленных простых чисел, что противоречит предположению о конечности их множества. Если же N делится на простое число, то это простое число не может быть ни одним из p₁, p₂, …, p, потому что при делении N на любое из этих чисел всегда остается остаток 1. Таким образом, мы находим новое простое число, что снова приводит к противоречию.
Использование этого метода требует аккуратности и внимания к деталям, чтобы не допустить логических ошибок. Но когда оно применяется правильно, оно демонстрирует элегантность и мощь математической мысли, позволяя решать задачи, которые на первый взгляд кажутся неразрешимыми.
Подписывайтесь на наш канал: https://t.me/ANEKDOTtop1000
Приходите к нам вконтакте: https://vk.com/club233469315
Об авторе
